Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的右顶点A（a，0），拋物线x²=2py（p＞0）的焦点及准线方程，根据已知条件得出a2+

p2

4

=c2①及

a

b

4b2+p 2

=2c②，求出a=b，得双曲线的渐近线方程为：y=±x．

解答： 解：∵右顶点为A，
∴A（a，0），
∵F为抛物线x²=2py（p＞0）的焦点，
F(0，

p

2

)，
∵|FA|=c，
∴a2+

p2

4

=c2①
抛物线的准线方程为y=-

p

2

由

x2 a2 - y2 b2 =1 y=- p 2

得x=±

a

2b

4b2+p 2

，

a

b

4b2+p 2

=2c②，
c²=2a²，
∵c²=a²+b²，
∴a=b，
∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，
故答案为：y=±x．

点评：熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键．