Question

当实数x，y满足

x+2y-4≤0 x-y-1≤0 x≥1

时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：由约束条件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，结合可行域内特殊点A，B，C的坐标满足不等式列不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围．

解答： 解：由约束条件作可行域如图，
联立

x=1 x+2y-4=0

，解得C（1，

3

2

）．
联立

x-y-1=0 x+2y-4=0

，解得B（2，1）．
在x-y-1=0中取y=0得A（1，0）．
要使1≤ax+y≤4恒成立，
则

a-1≥0 a+ 3 2 -1≥0 a-4≤0 2a+1-4≤0

，解得：1≤a≤

3

2

．
∴实数a的取值范围是[1，

3

2

]．

解法二：令z=ax+y，
当a＞0时，y=-ax+z，在B点取得最大值，A点取得最小值，
可得

2a+1≤4 a≥1

，即1≤a≤

3

2

；
当a＜0时，y=-ax+z，在C点取得最大值，
①a＜-1时，在B点取得最小值，可得

a+ 3 2 ≤4 2a+1≥1

，解得0≤a≤

5

2

（不符合条件，舍去）
②-1＜a＜0时，在A点取得最小值，可得

a+ 3 2 ≤4 a≥1

，解得1≤a≤

5

2

（不符合条件，舍去）
综上所述即：1≤a≤

3

2

；
故答案为：[1，

3

2

]．

点评：本题考查线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了不等式组得解法，是中档题．