Question

设函数f（x）=alnx+

x-1

x+1

，其中a为常数．
（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y-f（1）=f′（1）（x-1），代入计算即可．
（Ⅱ）先对其进行求导，即f′(x)=

a

x

+

2

(x+1)2

，考虑函数g（x）=ax²+（2a+2）x+a，分成a≥0，-

1

2

＜a＜0，a≤-

1

2

三种情况分别讨论即可．

解答： 解：f′(x)=

a

x

+

2

(x+1)2

，
（Ⅰ）当a=0时，f′(x)=

2

(x+1)2

，f′（1）=

1

2

，f（1）=0
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=

1

2

（x-1）．
（Ⅱ）（1）当a≥0时，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）当a＜0时，令f′（x）＞0，则

a

x

+

2

(x+1)2

＞0，整理得，ax²+（2a+2）x+a＞0，
令f′（x）＜0，则

a

x

+

2

(x+1)2

＜0，整理得，ax²+（2a+2）x+a＜0．
以下考虑函数g（x）=ax²+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.△=8a+4=8(a+

1

2

)，对称轴方程x=-

a+1

a

．
①当a≤-

1

2

时，△≤0，∴g（x）＜0恒成立．（x＞0）
②当-

1

2

＜a＜0时，此时，对称轴方程x=-

a+1

a

＞0，
∴g（x）=0的两根均大于零，计算得
当

-(a+1)+ 2a+1

a

＜x＜

-(a+1)- 2a+1

a

时，g（x）＞0；
当0＜x＜

-(a+1)+ 2a+1

a

或x＞

-(a+1)- 2a+1

a

时，g（x）＜0．
综合（1）（2）可知，
当a≤-

1

2

时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当-

1

2

＜a＜0时，f（x）在（

-(a+1)+ 2a+1

a

，

-(a+1)- 2a+1

a

）上单调递增，在（0，

-(a+1)+ 2a+1

a

），（

-(a+1)- 2a+1

a

，+∞）上单调递减；
当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．

点评：导数是高考中极易考察到的知识模块，导数的几何意义和导数的单调性是本题检查的知识点，特别是单调性的处理中，分类讨论是非常关键和必要的，分类讨论也是高考中经常考查的思想方法．