Question

设函数f（x）=asinx+bcosx（a、b为常数）．
（1）若f（

π

4

）=0，f（π）=

2

，求f（x）的解析式，并化为f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的形式；
（2）若a=2，b=0，g（x）=f（x+

π

6

），写出g（x）的解析式；当x∈[-

π

6

，

11π

6

]时，按照“五点法”作图步骤，画出函数g（x）的图象，写出一个区间D，D⊆[-

π

6

，

11π

6

]，使得在区间D上，g（x）≥0且g（x）单调递减．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由已知联立方程组求解a，b的值，代入后化积得答案；
（2）在f（x）=asinx+bcosx中取a=2，b=0得到f（x），平移后得到g（x），由五点作图得到函数图象，由图象求得满足条件的减区间．

解答： 解：（1）由f（x）=asinx+bcosx，且f（

π

4

）=0，f（π）=

2

，得

2 2 (a+b)=0 -b= 2

，解得：a=

2

，b=-

2

．
∴f（x）=

2

sinx-

2

cosx=2sin(x-

π

4

)；
（2）若a=2，b=0，则f（x）=2sinx，
g（x）=f（x+

π

6

）=2sin（x+

π

6

），
画函数g（x）=2sin（x+

π

6

）在x∈[-

π

6

，

11π

6

]上的图象步骤如下：
列表：

x	- π 6	π 3	5π 6	4π 3	11π 6
x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
g（x）	0	2	0	-2	0

描点并用平滑曲线连接：

由图可知满足条件的区间D为：[

π

3

，

5π

6

]．

点评：本题考查了由已知条件求解三角函数的图象，考查了五点作图法作三角函数的图象，训练了复合函数单调性的求法，是中档题．