Question

14．已知$cosα=\frac{4}{5}$，$cos（α+β）=\frac{5}{13}$，α，β均为锐角．
（1）求sin2α的值；
（2）求sinβ的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ的值．

解答 解：（1）∵$cosα=\frac{4}{5}$，α为锐角，∴$sinα=\sqrt{1-{{cos}^2}α}=\sqrt{1-{{（\frac{4}{5}）}^2}}=\frac{3}{5}$，
∴$sin2α=2sinαcosα=2×\frac{3}{5}×\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$．
（2）∵α，β均为锐角，$cos（α+β）=\frac{5}{13}$，∴α+β∈（0，π），
∴$sin（α+β）=\sqrt{1-{{cos}^2}（α+β）}=\sqrt{1-{{（\frac{5}{13}）}^2}}=\frac{12}{13}$，
∴$sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=\frac{12}{13}×\frac{4}{5}-\frac{5}{13}×\frac{3}{5}=\frac{33}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．