Question

5．设函数f（x）的定义域为D，如果?x∈D存在唯一的y∈D，使$\frac{f（x）+f（y）}{2}$=C（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的“均值”为C，已知四个函数：
①f（x）=x³（x∈R）；
②f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x（x∈R）；
③f（x）=lnx（x∈（0，+∞））
④f（x）=2sinx（x∈R）
上述四个函数中，满足所在定义域上“均值”为1的函数是①③．（填入所有满足条件函数的序号）

Answer 1

分析 利用“均值”的概念，分别对四个函数进行分析，能求出满足所在定义域上“均值”为1的函数．

解答 解：①对于函数y=x³，定义域为R，设x∈R，
由$\frac{{x}^{3}+{y}^{3}}{2}$=1，得y³=2-x³，所以y=$\root{3}{2-{x}^{3}}$∈R，
所以函数y=x³是定义域上均值为1的函数；
②对于y=（$\frac{1}{2}$）x，定义域为R，设x∈R，
由$\frac{（\frac{1}{2}）^{x}+（\frac{1}{2}）^{y}}{2}$=1，得（$\frac{1}{2}$）y=2-（$\frac{1}{2}$）x，
当x=-2时，2-（$\frac{1}{2}$）-2=-2，不存在实数y的值，使（$\frac{1}{2}$）y=-2，
所以该函数不是定义域上均值为1的函数；
③对于函数y=lnx，定义域是（0，+∞），
设x∈（0，+∞），由$\frac{lnx+lny}{2}$=1，得lny=2-lnx，则y=e^2-lnx∈R，
所以该函数是定义域上均值为1的函数；
④对于函数y=2sinx（x∈R），定义域是R，
设x∈R，由$\frac{2sinx+2siny}{2}$=1，得siny=1-sinx，
因为-sinx∈[-1，1]，所以sinx=-1时，不存在实数y，使得siny=1-sinx，
所以函数y=2sinx不是定义域上均值为1的函数．
所以满足所在定义域上“均值”为1的函数是①③．
故答案为：①③．

点评 本题考查满足所在定义域上“均值”为1的函数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．