Question

已知函数f（x）=ax²+ax+b（a＞0），关于x的不等式f（x）≥c的解集为A．
（1）若f（1）=c=0，求集合A；
（2）若A=（-∞，m]∪[m+4，+∞），且f（x）的值域为[0，+∞），求

c

a

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将1代入可得2a+b=0，进而可将不等式f（x）≥c可化为f（x）=a（x+2）（x-1）≥0，解得集合A；
（2）由A=（-∞，m]∪[m+4，+∞），且f（x）的值域为[0，+∞），可构造关于a，b，c的方程组，分类讨论可得

c

a

的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²+ax+b，
∴f（1）=2a+b=c=0，
故不等式f（x）≥c可化为f（x）=a（x+2）（x-1）≥0，
又∵a＞0，
∴A=（-∞，-2]∪[1，+∞）
（2）f（x）≥c化简得ax²+ax+b-c≥0，
若A=（-∞，m]∪[m+4，+∞），
则m和m+4是方程ax²+ax+b-c=0的两个根，
由韦达定理得，
m+m+4=-1，
解得：m=-

5

2

，
m•（m+4）=

b-c

a

=-

15

4

…（1），
由f（x）的值域是[0，+∞）得，
最小值

4ab-b2

4a

=0，即b（4a-b）=0…（2），
若b=0，则

c

a

=

15

4

，
若4a-b=0，

c

a

=

31

4

．

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，二次不等式的解法，难度不大，属于中档题．