Question

已知二次函数y=f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），图象关于直线x=-

1

2

对称．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）-x²-13]•|x|，
①若函数y=g（x）-m的零点有三个，求实数m的取值范围；
②求函数g（x）在[t，2]上的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由二次函数y=f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），图象关于直线x=-

1

2

对称．构造关于b，c的方程，解方程，可得函数的解析式；
（2）求出函数g（x）=[f（x）-x²-13]•|x|的解析式，画出函数的图象，利用图象可分析出答案．

解答： 解：（1）二次函数y=f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），图象关于直线x=-

1

2

对称．
∴

b+c+1=13 b=1

，
解得：

b=1 c=11

，
故y=f（x）=x²+x+11，
（2）由（1）得g（x）=[f（x）-x²-13]•|x|=（x-2）|x|，
其图象如下图所示：

①若函数y=g（x）-m的零点有三个，即y=g（x）的图象与y=m有三个交点，
由图可得，m∈[-1，0]
②由图可得，
当t≤1-

2

时，函数g（x）在[t，2]上最小值为：g（t）=-t²+2t，
当1-

2

＜t≤1时，函数g（x）在[t，2]上最小值为：g（1）=-1，
当1＜t＜2时，函数g（x）在[t，2]上最小值为：g（t）=t²-2t，

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，二次不等式的解法，难度不大，属于中档题．