Question

1．圆心在曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0）上，与直线2x+y+1=0相切且面积最小的圆的方程为（　　）

• A． （x-1）²+（y-2）²=5
• B． （x-1）²+（y-1）²=5
• C． （x-1）²+（y-2）²=25
• D． （x-1）²+（y-1）²=25

Answer 1

分析 设出圆心坐标，求出圆心到直线的距离的表达式，求出表达式的最小值，即可得到圆的半径长，得到圆的方程，推出选项．

解答 解：设圆心为（a，$\frac{2}{a}$）（a＞0），
则r=$\frac{|2a+\frac{2}{a}+1|}{\sqrt{5}}$≥$\frac{|2\sqrt{2a•\frac{2}{a}}+1|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
当且仅当a=1时等号成立．
当r最小时，圆的面积S=πr²最小，
此时圆的方程为（x-1）²+（y-2）²=5；
故选A．

点评 本题是基础题，考查圆的方程的求法，点到直线的距离公式、基本不等式的应用，考查计算能力．