Question

已知直线l：y=2x+b与函数y=

1

x

的图象交于A，B两点，记△OAB的面积为S（O为坐标原点），则函数S=f（b）是（　　）

• A、奇函数且在（0，+∞）上单调递增
• B、偶函数且在（0，+∞）上单调递增
• C、奇函数且在（0，+∞）上单调递减
• D、偶函数且在（0，+∞）上单调递减

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件求出AB的长度以及O到AB的距离，从而求出三角形OAB的面积函数，根据函数的表达式即可得到结论．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由2x+b=

1

x

，即2x²+bx-1=0，
则

△=b2+8＞0 x1+x2=- b 2 x1x2=- 1 2

，
则|AB|=

5[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5( b2 4 +2)

，
圆心到直线2x-y+b=0的距离d=

|b|

5

，
∴△OAB的面积S=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

|b|

5

×

5( b2 4 +2)

=

|b|

2

b2 4 +2

，
∴S=f（b）=

|b|

2

b2 4 +2

，
则函数f（b）为偶函数，
当b＞0时，y=

|b|

2

和y=

b2 4 +2

都为增函数，
∴当b＞0时，f（b）=

|b|

2

b2 4 +2

为增函数．
故选：B．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用直线和双曲线的位置关系求出三角形的面积是解决本题的关键．