Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（2-x）为奇函数，函数f（x+3）关于直线x=1对称，则函数f（x）的最小正周期为（　　）

• A、4
• B、8
• C、12
• D、16

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数f（2-x）为奇函数，由定义将x换为-x，再将x换为x+2，得到f（4+x）=-f（-x），由于函数f（x+3）关于直线x=1对称，应用平移得到函数f（x）的图象关于x=4对称，即f（4+x）=f（4-x），从而得到f（x+4）=-f（x），再将x换为x+4，即可得到函数f（x）的最小正周期．

解答： 解：∵f（x）满足f（2-x）为奇函数，
∴f（2+x）=-f（2-x），
即f（4+x）=-f（-x）①，
∵函数f（x+3）关于直线x=1对称，
∴将函数f（x+3）的图象向右平移3个单位得到y=f（x）的图象，
则函数f（x）的图象关于直线x=4对称，
∴f（4+x）=f（4-x）②，
由①②得：f（4-x）=-f（-x），
即f（x+4）=-f（x），
∴f（x+8）=-f（x+4）即f（x+8）=f（x），
故函数f（x）的最小正周期为8．
故选B．

点评：本题主要考查函数的性质及应用，考查函数的奇偶性的定义，图象平移和对称性，以及周期性，考查解决抽象函数问题常用的方法：赋值法，将x换为x+1，x+2等这种赋式法一定要掌握．