题目内容
已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：
（Ⅰ）
+
+
≥8；
（Ⅱ）（1+
）（1+
）≥9．
（Ⅰ）
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| ab |
（Ⅱ）（1+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
考点：不等式的证明
专题：证明题,综合法,不等式的解法及应用
分析：（Ⅰ）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论；
（Ⅱ）（1+
）（1+
）=1+
+
+
，由（Ⅰ）代入，即可得出结论．
（Ⅱ）（1+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| ab |
解答：
证明：（Ⅰ）∵a+b=1，a＞0，b＞0，
∴
+
+
=
+
+
=2（
+
）=2（
+
）
=2（
+
）+4≥4+4=8，（当且仅当a=b时，取等号），
∴
+
+
≥8；
（Ⅱ）∵（1+
）（1+
）=1+
+
+
，
由（Ⅰ）知，
+
+
≥8，
∴1+
+
+
≥9，
∴（1+
）（1+
）≥9．
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| ab |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| a+b |
| ab |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| a+b |
| a |
| a+b |
| b |
=2（
| b |
| a |
| a |
| b |
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| ab |
（Ⅱ）∵（1+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| ab |
由（Ⅰ）知，
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| ab |
∴1+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| ab |
∴（1+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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