Question

已知椭圆

x2

4

+y2=1，P是圆x²+y²=16上任意一点，过P作椭圆的切线PA、PB，切点分别为A、B，则

PA

•

PB

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（m，n），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用椭圆的一点（x₀，y₀）处的切线方程：

x0x

4

+y0y=1，求出直线PA，PB的方程，进而得到AB的方程为

mx

4

+ny=1．代入椭圆方程，利用数量积公式，以及韦达定理，化简整理，结合P是圆x²+y²=16上任意一点，即可求

PA

•

PB

的最小值．

解答： 解：设P（m，n），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则对

x2

4

+y2=1两边求导，得，

x

2

+2yy′=0，
则过切点A的斜率为-

x1

4y1

，切线方程为：y-y₁=-

x1

4y1

（x-x₁），
又x₁²+4y₁²=4，化简即得PA：

x1x

4

+y1y=1，
同理可得，PB：

x2x

4

+y₂y=1，
∵过P点作椭圆的切线PA，PB，
∴直线AB的方程为

mx

4

+ny=1．
代入椭圆方程可得（4n²+m²）x²-8mx+（16-16n²）=0，
∴x₁+x₂=

8m

4n2+m2

，x₁x₂=

16-16n2

4n2+m2

，
∴

PA

•

PB

=x₁x₂+m²-m（x₁+x₂）+y₁y₂-n（y₁+y₂）+n²
=x₁x₂+m²-m（x₁+x₂）+

(4-mx1)(4-mx2)

16n2

-

8-m(x1+x2)

4

+n²
=

20-3m2

4n2+m2

+m²+n²-6，
∵m²+n²=16，
∴

PA

•

PB

=11-

44

3n2+16

，
则当n=0，m=±4时，即P（±4，0），

PA

•

PB

有最小值

33

4

．
故答案为：

33

4

．

点评：本题综合考查椭圆的方程及其应用、直线与椭圆的位置关系，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理解题，同时考查了学生的基本运算能力、运算技巧、逻辑推理能力，属于中档题．