Question

设正实数x，y，z满足x²-3xy+4y²-z=0，则

xy

z

取得最大值时，

2

x

+

1

y

+

2

z

的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由题意，z=x²-3xy+4y²，代入

xy

z

化简可得

1

x y +4 y x -3

，从而得

xy

z

的最大值是1，此时x=2y，从而代入

2

x

+

1

y

+

2

z

可化得

2

x

+

1

y

+

2

z

=

2

2y

+

1

y

+

2

2y2

=（

1

y

+1）²-1，从而求其取值范围．

解答： 解：由题意，z=x²-3xy+4y²，
则

xy

z

=

xy

x2-3xy+4y2

=

1

x y +4 y x -3

，
∵

x

y

+4

y

x

≥4，（当且仅当x=2y时，等号成立），
则

xy

z

的最大值为1．
此时，z=xy，x=2y；
则

2

x

+

1

y

+

2

z

=

2

2y

+

1

y

+

2

2y2

=（

1

y

+1）²-1，
∵x，y，z都是正实数，
∴

1

y

+1＞1，
∴（

1

y

+1）²-1＞0，
故（

1

y

+1）²-1的取值范围为（0，+∞），
故答案为：（0，+∞）．

点评：本题考查了基本不等式的应用，属于中档题．