题目内容
已知G点是△ABC的重心，
⊥
，
+
=
，则λ的值为（ ）
| AG |
| BG |
| 1 |
| tanA |
| 1 |
| tanB |
| 2λ |
| tanC |
| A、1 | ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
考点：两角和与差的正切函数
专题：解三角形,平面向量及应用
分析：如图，由于G为重心，利用重心性质定理可得：
=
(
+
)，
=
(
+
)=
(-
+
-
)
=
(
-2
)．由于
⊥
，
•
=0，化为a2+b2=5c2．根据
+
=
，可得λ=
=
，再利用余弦定理代入即可得出．
| AG |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| AC |
| BG |
| 1 |
| 3 |
| BA |
| BC |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| AC |
| AB |
=
| 1 |
| 3 |
| AC |
| AB |
| AG |
| BG |
| AG |
| BG |
| 1 |
| tanA |
| 1 |
| tanB |
| 2λ |
| tanC |
| sin2C |
| 2sinAsinBcosC |
| c2 |
| 2abcosC |
解答：
解：如图，∵G为重心，
∴
=
(
+
)，
=
(
+
)=
(-
+
-
)
=
(
-2
)．
∵
⊥
，
∴
•
=
(
2-2
2-
•
)=0，
∴b2-2c2-bccosA=0，
∴b2-2c2-
=0，
化为a2+b2=5c2．
又∵
+
=
，
∴
+
=
=
，
即λ=
=
=
=
．
故选：B．
∴
| AG |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| AC |
| BG |
| 1 |
| 3 |
| BA |
| BC |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| AC |
| AB |
=
| 1 |
| 3 |
| AC |
| AB |
∵
| AG |
| BG |
∴
| AG |
| BG |
| 1 |
| 9 |
| AC |
| AB |
| AB |
| AC |
∴b2-2c2-bccosA=0，
∴b2-2c2-
| b2+c2-a2 |
| 2 |
化为a2+b2=5c2．
又∵
| 1 |
| tanA |
| 1 |
| tanB |
| 2λ |
| tanC |
∴
| cosA |
| sinA |
| cosB |
| sinB |
| sin(A+B) |
| sinAsinB |
| 2λcosC |
| sinC |
即λ=
| sin2C |
| 2sinAsinBcosC |
| c2 |
| 2abcosC |
| c2 |
| a2+b2-c2 |
| 1 |
| 4 |
故选：B．
点评：本题考查了三角形的重心性质定理、正弦定理、余弦定理、两角和差的正弦公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
已知△ABC满足c=2acosB，则△ABC的形状是（ ）
| A、等腰三角形 |
| B、直角三角形 |
| C、等腰直角三角形 |
| D、等腰三角形或直角三角形 |
若关于x的不等式cosθ（1-x）2-2x（1-x）+2
x2sinθ≥0对一切x∈[0，1]恒成立，则θ的取值范围是（ ）
| 2 |
A、[kπ+
| ||||
B、[2kπ+
| ||||
C、[kπ+
| ||||
D、[2kπ+
|
已知空间四边形ABCD，E，F，G，H分别边AB，BC，CD，DA的中点，则EG与FH位置关系是（ ）
| A、相交 | B、平行 | C、异面 | D、重合 |
双曲线
-
=1的离心率e∈（1，2），则实数k的取值范围是（ ）
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| k |
| A、（0，4） | ||
| B、（1，1） | ||
C、（0，2
| ||
| D、（0，12） |