Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M为PD的中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；  
（Ⅱ）求证：BC⊥PA．

Answer 1

分析 （I）连结OM，则由中位线定理得OM∥PB，故PB∥平面ACM；
（II）由BC⊥AC，BC⊥PO可得BC⊥平面PAC，于是BC⊥PA．

解答 证明：（I）连结OM，BD，
∵底面ABCD为平行四边形，
∴O是BD的中点，又M是PD的中点，
∴OM∥PB，又OM?平面ACM，PB?平面ACM，
∴PB∥平面ACM．
（II）AD=AC=1，∠ADC=45°，
∴AC⊥AD，即BC⊥AC．
∵PO⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PO⊥BC，
又PO∩AC=O，PO?PAC，AC?平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，又PA?平面PAC，
∴BC⊥PA．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，属于基础题．