Question

2．在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=8$，则△ABC的面积的最大值为（　　）

• A． 8
• B． 16
• C． $10\sqrt{3}$
• D． $8\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根据平面向量的数量积公式和余弦定理，求出b²+c²=80，再利用基本不等式得出bc的最大值，写出△ABC的面积，求其最大值即可．

解答 解：△ABC中，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=8$，
设A、B、C所对边分别为a，b，c，
则c•b•cosA=a=8①；
所以△ABC的面积为：
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1{-cos}^{2}A}$=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1-\frac{64}{{{b}^{2}c}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{{b}^{2}c}^{2}-64}$，
由余弦定理可得b²+c²-2bc•cosA=a²=64②，
由①②消掉cosA得b²+c²=80，
所以b²+c²≥2bc，
bc≤40，当且仅当b=c=2$\sqrt{10}$时取等号，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{{b}^{2}c}^{2}-64}$≤$\frac{1}{2}$$\sqrt{{40}^{2}-64}$=8$\sqrt{6}$，
所以△ABC面积的最大值为8$\sqrt{6}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算、三角形面积公式以及基本不等式的应用问题，是综合题．