Question

已知椭圆C的焦点在x轴上，且短轴长为4，离心率e=

5

5

，
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过椭圆C的右焦点F₂且斜率为2的直线交椭圆C于A、B两点，求弦AB的长．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出椭圆C的标准方程，由短轴长与离心率，结合a²=b²-c²，求出b、a，即得标准方程；
（2）求出直线AB的方程，与椭圆的方程组成方程组，求出点A、B的坐标，计算出弦长|AB|．

解答： 解：（1）根据题意，设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∴2b=4，e=

c

a

=

5

5

，
又∵a²=b²-c²，
∴b=2，a=

5

；
∴椭圆C的方程为

x2

5

+

y2

4

=1；
（2）∵椭圆C的右焦点为F₂（1，0），
∴直线AB的方程为y=2（x-1）；
∴

y=2(x-1) x2 5 + y2 4 =1

，
解得

x=0 y=-2

，或

x= 5 3 y= 4 3

；
∴点A（0，-2），B（

5

3

，

4

3

），
∴弦长|AB|=

( 5 3 -0)2+( 4 3 +2)2

=

5 5

3

．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，解题时应熟练地掌握圆锥曲线的几何性质，并能灵活地应用，是基础题．