Question

某种产品特约经销商根据以往当地的需求情况，得出如图该种产品日需求量的频率分布直方图．
（Ⅰ）求图中a的值，并估计日需求量的众数；
（Ⅱ）某日，经销商购进130件该种产品，根据近期市场行情，当天每售出1件能获利30元，未售出的部分，每件亏损20元．设当天的需求量为x件（100≤x≤150），纯利润为S元．
  （ⅰ）将S表示为x的函数；
  （ⅱ）根据直方图估计当天纯利润S不少于3400元的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,函数解析式的求解及常用方法,频率分布直方图

专题：计算题,概率与统计

分析：（I）根据所有小矩形的面积之和为1，求得第四组的频率，再根据小矩形的高=

频率

组距

求a的值；
（II）利用分段函数写出S关于x的函数；根据S≥3400得x的范围，利用频率分布直方图求数据在范围内的频率及可得概率．

解答： 解：（Ⅰ）由直方图可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，
∵

120+130

2

=125，
∴估计日需求量的众数为125件；
（Ⅱ）（ⅰ）当100≤x＜130时，S=30x-20（130-x）=50x-2600，
当130≤x≤150时，S=30×130=3900，
∴S=

50x-2600，100≤x＜130 3900，130≤x≤150

；
（ⅱ）若S≥3400由50x-2600≥3400得x≥120，
∵100≤x≤150，
∴120≤x≤150，
∴由直方图可知当120≤x≤150时的频率是（0.030+0.025+0.015）×10=0.7，
∴可估计当天纯利润S不少于3400元的概率是0.7．

点评：本题考查了由频率分布直方图求频率与众数，考查了分段函数的值域与定义域，在频率分布直方图中小矩形的高=

频率

组距

，所有小矩形的面积之和为1．