Question

已知M（x₁，y₁）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上任意一点，F为椭圆的右焦点．
（1）若椭圆的离心率为e，试用e、a、x₁表示|MF|，并求|MF|的最值；
（2）已知直线m与圆x²+y²=b²相切，并与椭圆交于A、B两点，且直线m与圆的切点Q在y轴的右侧，若a=2，b=1，求△ABF的周长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设F（c，0），则|MF|=

(x1-c)2+y12

=

(ex1-a)2

，-a≤x₁≤a，且0＜e＜1，由此能求出|MF|的最值．
（2）设B（x₂，y₂），（x₁，x₂＞0），在△OQA中，由|AQ|=

cx1

a

，|BQ|=

cx2

a

，求出|AB|+|AF|+|BF|=2a，由此能求出△ABF的周长．

解答： 解：（1）设F（c，0）为椭圆的右焦点，
则|MF|=

(x1-c)2+y12

，
又

x12

a2

+

y12

b2

=1，
则y12=(1-

x12

a2

)b2，
∴|MF|=

(1- b2 a2 )x12-2cx1+a2

=

c2 a2 x12-2cx1+a2

=

(ex1-a)2

，-a≤x₁≤a，且0＜e＜1，
|MF|=a-ex₁，
∴|MF|_max=a+ae，|MF|_min=a-ae．（4分）
（2）设B（x₂，y₂），（x₁，x₂＞0），在△OQA中，
|AQ|2=x12+y12-b2，又y12=(1-

x12

a2

)b2，
|AQ|²=

c2x12

a2

．则|AQ|=

cx1

a

，同理|BQ|=

cx2

a

，
∴|AB|+|AF|+|BF|=2a-（

c

a

x1+

c

a

x2）+

c

a

x1+

c

a

x2=2a，
又a=2，∴所求周长为4．（12分）

点评：本题考查线段最值的求法，考查三角形周长的求法，解题时要认真审题，注意椭圆简单性质的灵活运用．