Question

已知向量

a

=（

2

sin（

x

2

-

π

4

），

3

cos

x

2

），向量

b

=（

2

sin（

x

2

+

π

4

），2sin

x

2

），函数f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的对称轴方程及单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，若f（A）=

2

3

，求cosA的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,两角和与差的余弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（1）由题意可得f（x）=2sin(x-

π

6

)，令x-

π

6

=kπ+

π

2

可得对称轴方程，由2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

可得单调递增区间；
（2）由（1）和条件易得sin(A-

π

6

)=

1

3

，进而可得cos(A-

π

6

)=

2 2

3

，代入cosA=cos[(A-

π

6

)+

π

6

]=cos(A-

π

6

)cos

π

6

-sin(A-

π

6

)sin

π

6

，化简可得．

解答： 解：（1）由题意可得f（x）=

a

•

b

=

2

sin（

x

2

-

π

4

）•

2

sin（

x

2

+

π

4

）+

3

cos

x

2

•2sin

x

2

=（sin

x

2

-cos

x

2

）（sin

x

2

+cos

x

2

）+

3

sinx
=

3

sinx-（cos²

x

2

-sin²

x

2

）
=

3

sinx-cosx=2sin(x-

π

6

)
令x-

π

6

=kπ+

π

2

可得x=kπ+

2π

3

，k∈Z，故对称轴方程为：x=kπ+

2π

3

，k∈Z，
由2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

可得2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

，
故单调递增区间为[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

] k∈Z
（2）由（1）知f（A）=2sin(A-

π

6

)=

2

3

，∴sin(A-

π

6

)=

1

3

又0＜A＜

π

2

，∴cos(A-

π

6

)=

2 2

3

，
∴cosA=cos[(A-

π

6

)+

π

6

]
=cos(A-

π

6

)cos

π

6

-sin(A-

π

6

)sin

π

6

=

2 2

3

×

3

2

-

1

3

×

1

2

=

2 6 -1

6

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的单调性和对称性，属基础题．