Question

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意的n∈N^*，总有a_n，S_n，a²_n成等差数列，又记b_n=

1

a2n+1•a2n+3

，数列{b_n}的前n项和T_n=（　　）

• A、

  6n

  n+9

• B、

  n

  9n+6

• C、

  n

  6n+9

• D、

  n

  n+6

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得2a_n=a_n-a_n-1+an2-an-12，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由数列{a_n}的各项均为正数，得a_n-a_n-1=1，由此能求出a_n=n．
b_n=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），由此利用裂项求和法求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：由已知得2S_n=a_n+a_n²，①
当n≥2时，2S_n-1=a_n-1+

a

2 n-1

，②
①-②，得2a_n=a_n-a_n-1+

a

2 n

-

a

2 n-1

，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，
∴a_n-a_n-1=1，
又n=1时，2a₁=a₁+

a

2 1

，解得a₁=1，
∴{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a_n=n．
∴b_n=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

）．
=

1

2

（

1

3

-

1

2n+3

）=

n

3(2n+3)

=

n

6n+9

．
故选C．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项相消法的合理运用．