Question

已知直线l：y=kx+1（k∈R）与圆C：x²+y²=4相交于点A、B，M为弦AB的中点．
（1）当k=1时求弦AB的中点M的坐标；
（2）求证：直线l与圆C总有两个交点；
（3）当k变化时求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）当k=1时，y=x+1与圆C：x²+y²=4联立可得2x²+2x-3=0，即可求出弦AB的中点M的坐标；
（2）由线系方程判断出直线过圆上的定点，即可得出结论‘
（3）设出弦中点的坐标，由OM⊥AB，可得x+ky=0①，M在l上，可得y=kx+1②，①②消去k，可得弦AB的中点M的轨迹方程．

解答： 解：（1）当k=1时，y=x+1与圆C：x²+y²=4联立可得2x²+2x-3=0，
∵直线l：y=kx+1（k∈R）与圆C：x²+y²=4相交于点A、B，M为弦AB的中点，
∴M（

1

2

，

1

2

）；
（2）直线l：y=kx+1（k∈R），无论k为何值，直线l必须经过点（0，1），而点（0，1）为圆内一点，所以该直线必与圆C总有两个交点；
（3）设M（x，y），则∵OM⊥AB，∴x+ky=0①
∵M在l上，∴y=kx+1②
①②消去k，可得弦AB的中点M的轨迹方程x2+(y-

1

2

)2=

1

4

．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．