Question

20．设函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）-4cos²ωx+3（0＜ω＜2），且y=f（x）的图象的一条对称轴为x=$\frac{π}{6}$．
（1）求ω的值并求f（x）的最小值；
（2）△ABC中，a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且a=1，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，f（A）=2，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）运用二倍角余弦公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的对称轴方程和最值，求得ω的值并求f（x）的最小值；
（2）由f（A）=2，求得A；再由三角形的余弦定理和面积公式，求得b，c的关系，即可得到所求三角形的周长．

解答 解：（1）函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）-4cos²ωx+3（0＜ω＜2）
=2$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx）-2（1+cos2ωx）+3
=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx+1=1+2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
由y=f（x）的图象的一条对称轴为x=$\frac{π}{6}$，
可得2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即ω=3k+1，k∈Z，
由0＜ω＜2，可得ω=1；
当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即x=kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
f（x）=1+2sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最小值1-2=-1；
（2）由f（A）=1+2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=2，
可得sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
由A为三角形的内角，可得2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$），
即有2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$，
由a=1，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
可得$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，即为bc=1，①
由a²=b²+c²-2bccosA，
即为b²+c²=2②
可得b+c=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}+2bc}$=$\sqrt{2+2}$=2，
则△ABC的周长为a+b+c=3．

点评 本题考查三角函数的恒等变换，正弦函数的图形和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．