Question

11．已知$a=\int_0^π{sinxdx}$，则二项式${（{1-\frac{a}{x}}）^6}$的展开式中x^-3的系数为-160．

Answer 1

分析 求定积分得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于-3，求出r的值，即可求得展开式中x^-3的系数．

解答 解：$a=\int_0^π{sinxdx}$=-cosx${|}_{0}^{π}$=2，
则二项式${（{1-\frac{a}{x}}）^6}$=${（1-\frac{2}{x}）}^{6}$的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-2）^r•x^-r，
令-r=-3，可得r=3，故展开式中x^-3的系数为${C}_{6}^{3}$•（-2）³=-160，
故答案为：-160．

点评 本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．