Question

5．若x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥1}\\{x-y≤2}\\{y≤2}\end{array}\right.$，则z=$\frac{1}{2}$x+y的最小值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y≥1}\\{x-y≤2}\\{y≤2}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{x-y=2}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{3}{2}$，$-\frac{1}{2}$）．
化目标函数z=$\frac{1}{2}$x+y为y=$-\frac{1}{2}x+z$，
由图可知，当直线y=$-\frac{1}{2}x+z$过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．