题目内容
9．已知定点O（0，0），A（3，0），动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是$\frac{1}{\sqrt{λ}}$．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
（Ⅱ）当λ=4时，记动点P的轨迹为曲线D．F，G是曲线D上不同的两点，对于定点Q（-3，0），有|QF|•|QG|=4．试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．
分析 （Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），由$\sqrt{λ}$|PO|=|PA|代入坐标整理得（λ-1）x2+（λ-1）y2+6x-9=0，对λ分类讨论可得；
（Ⅱ）当λ=4时，曲线D的方程是x2+y2+2x-3=0，则由面积相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2，由点到直线的距离公式以及直线和圆的位置关系可得．
解答 解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），
则由$\sqrt{λ}$|PO|=|PA|得λ（x2+y2）=（x-3）2+y2，
整理得：（λ-1）x2+（λ-1）y2+6x-9=0，
∵λ＞0，∴当λ=1时，方程可化为：2x-3=0，方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线；
当λ≠1时，则方程可化为，$（x+\frac{3}{λ-1}）^{2}$+y2=$（\frac{3\sqrt{λ}}{λ-1}）^{2}$，
即方程表示的曲线是以（-$\frac{3}{λ-1}$，0）为圆心，$\frac{3\sqrt{λ}}{|λ-1|}$为半径的圆．
（Ⅱ）当λ=4时，曲线D的方程是x2+y2+2x-3=0，
故曲线D表示圆，圆心是D（-1，0），半径是2．
设点Q到直线FG的距离为d，∠FQG=θ，
则由面积相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2．
即d=$\frac{4sinθ}{|FG|}$=$\frac{4sinθ}{2rsinθ}$=1．于是顶点Q到动直线FG的距离为定值，
即动直线FG与定圆（x+3）2+y2=1相切．
点评 本题考查参数方程和极坐标方程，涉及分类讨论的思想，属中档题．
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