Question

19．在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a，b，c，且tanAtanC=$\frac{1}{2cosAcosC}$+1．
（1）求B的大小；
（2）若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$b²，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数基本关系式化简已知可得$\frac{sinAsinC}{cosAcosC}$=$\frac{1+2cosAcosC}{2cosAcosC}$，结合三角形内角和定理可得cosB=$\frac{1}{2}$，结合范围B∈（0，π），即可求B的值．
（2）利用向量数量积的运算可得ac=b²，又由余弦定理可得：b²=a²+c²-ac，从而解得a=c，结合B=$\frac{π}{3}$，可得三角形为等边三角形．

解答 解：（1）∵tanAtanC=$\frac{1}{2cosAcosC}$+1．
∴$\frac{sinAsinC}{cosAcosC}$=$\frac{1+2cosAcosC}{2cosAcosC}$，可得：-2cos（A+C）=1，
∴cosB=-cos（A+C）=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$b²，B=$\frac{π}{3}$．
∴accos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$b²，解得：ac=b²①，
又∵由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac②，
∴由①②可得：a=c，结合B=$\frac{π}{3}$，可得三角形为等边三角形．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形内角和定理，向量数量积的运算，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．