Question

14．已知函数f（x）=log_a$\frac{x-5}{x+5}$，（a＞0且a≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）是否存在实数m使得f（x+2）+f（m-x）为常数？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）f（x）=log_a$\frac{x-5}{x+5}$为奇函数，求函数的定义域并利用奇函数的定义证明即可；
（2）假设存在这样的m，则f（x+2）+f（m-x）=log_a$\frac{-{x}^{2}+（m-2）x-3（m-5）}{-{x}^{2}+（m-2）x+7（m+5）}$，即$\frac{-{x}^{2}+（m-2）x-3（m-5）}{-{x}^{2}+（m-2）x+7（m+5）}$为常数，设为k，整理由多项式系数相等可得m和k的方程组，解方程组可得．

解答 解：（1）f（x）=log_a$\frac{x-5}{x+5}$为奇函数，下面证明：
解$\frac{x-5}{x+5}$＞0可得定义域为{x|x＜-5或x＞5}，关于原点对称，
f（-x）=log_a$\frac{x+5}{x-5}$=-log_a$\frac{x-5}{x+5}$=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数；
（2）假设存在这样的m，则f（x+2）+f（m-x）
=log_a$\frac{x-3}{x+7}$•$\frac{-x+m-5}{-x+m+5}$=log_a$\frac{-{x}^{2}+（m-2）x-3（m-5）}{-{x}^{2}+（m-2）x+7（m+5）}$，
∴$\frac{-{x}^{2}+（m-2）x-3（m-5）}{-{x}^{2}+（m-2）x+7（m+5）}$为常数，设为k，
则（k-1）x²+（m-2）（1-k）x-3（m-5）-7k（m+5）=0对定义域内的x恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{k-1=0}\\{（m-2）（1-k）=0}\\{-3（m-5）-7k（m+5）=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{m=-2}\end{array}\right.$
∴存在这样的m=-2

点评 本题考查对数函数的图象和性质，涉及恒成立问题，属中档题．