Question

18．平面向量$\overrightarrow a，\overrightarrow{b，}$$\overrightarrow e$满足$|{\overrightarrow e}|=1，\overrightarrow a•\overrightarrow e=1，\overrightarrow b•\overrightarrow e=2，|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}$|=2，当$|{\overrightarrow a}$|=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，$|{\overrightarrow b}$|=$\frac{\sqrt{19}}{2}$时，$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最小值为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 由题意建立直角坐标系．由|$\overrightarrow{e}$|=1，不妨设$\overrightarrow{e}$=（1，0）．结合题意及投影概念可设$\overrightarrow{a}$=（1，m），$\overrightarrow{b}$=（2，n）．利用|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，可得（m+n）²=3+4mn≥0，再利用数量积运算$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=2+mn即可得出$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最小值，并求得m，n的值，进一步得到$|{\overrightarrow a}$|，|$\overrightarrow{b}$|．

解答 解：如图所示，建立直角坐标系．
∵$|\overrightarrow{e}|=1$，∴不妨设$\overrightarrow{e}=（1，0）$，
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{e}=1$，$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{e}=2$，
∴可设$\overrightarrow{a}=（1，m），\overrightarrow{b}=（2，n）$．
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（-1，m-n）．
∵$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2$，
∴$\sqrt{1+（m-n）^{2}}=2$，化为（m-n）²=3，
∴（m+n）²=3+4mn≥0，
∴mn≥-$\frac{3}{4}$，当且仅当m=-n=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$时取等号．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2+mn≥2-$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{4}$．
此时$\overrightarrow{a}=（1，±\frac{\sqrt{3}}{2}），\overrightarrow{b}=（2，±\frac{\sqrt{3}}{2}）$，
∴$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{4+\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{19}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{7}}{2}，\frac{\sqrt{19}}{2}，\frac{5}{4}$．

点评 本题考查数量积运算及其性质、不等式的性质，考查了推理能力和解决问题的能力，由已知结合投影概念设出向量坐标是解答该题的关键，属难题．