Question

3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• C． $\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为2c，2b，2a，通过椭圆的短轴长是长轴长与焦距的等比中项，建立关于a，b，c的等式，求出椭圆的离心率即可．

解答 解：设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为2c，2b，2a，
∵椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等比数列，
∴4b²=2a•2c，
∴b²=a•c
∴b²=a²-c²=a•c，
两边同除以a²得：e²+e-1=0，
解得，e=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$（舍负），
∴e=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的基本性质，等比数列性质的应用，考查计算能力，属于基础题．