Question

18．已知函数f（x）=ax³+4x-4（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线3x-y+2=0平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-m有三个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数，由导数值等于3求得a的值．
（Ⅱ）求出导函数，可知g（x）的单调性，求得g（x）的极值，由题意可得极值、端点处函数值的符号，解不等式即可求实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+4x-4，∴f′（x）=3ax²+4，
故切线的斜率k=f′（1）=3a+4，
又切线与直线3x-y+2=0平行，
故切线的斜率k=3，即3a+4=3，∴a=-$\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+4x-4-m，
∴g′（x）=-x²+4=-（x+2）（x-2），
∴当函数g（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．
∴函数g（x）在x=2处取得极大值g（2）=$\frac{4}{3}$-m，在x=-2处取得极小值g（-2）=-$\frac{28}{3}$-m，
由函数g（x）=f（x）-m有三个零点，可得$\left\{\begin{array}{l}{-m-\frac{28}{3}＜0}\\{-m+\frac{4}{3}＞0}\end{array}\right.$，∴-$\frac{28}{3}$＜m＜$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性、极值、函数的零点，考查不等式的求解，属于中档题．