Question

12．曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 3$\sqrt{5}$
• D． 0

Answer 1

分析 设与曲线y=ln（2x-1）相切且与直线2x-y+3=0平行的直线方程为：2x-y+m=0，设切点为（x₀，y₀），利用导数的几何意义可求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：y=ln（2x-1）的导函数为y′=$\frac{2}{2x-1}$，
设与曲线y=ln（2x-1）相切且与直线2x-y+3=0平行的直线方程为：2x-y+m=0，
设切点为（x₀，y₀）
∴$\frac{2}{2{x}_{0}-1}$=2，解得x₀=1，
∴y₀=ln（2x₀-1）=ln1=0，
∴切点为（1，0）
∴切点（1，0）到直线2x-y+3=0的距离为$\frac{|2+3|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$．
即曲线y=ln（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是$\sqrt{5}$．
故选：A．

点评 本题考查了导数的几何意义、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．