Question

11．以直角坐标系xOy的原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}a+1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}a-5}\end{array}\right.$（a为参数），圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ
（1）求圆C的圆心极坐标与半径；
（2）判断直线l与圆C的位置．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，可得圆C的直角坐标方程，可得圆心的直角坐标，化为极坐标，以及半径；
（2）求得直线l的普通方程，圆心C到直线的距离d＞r，即可判断直线和圆C的位置关系．

解答 解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得ρ²=8ρsinθ，即有x²+y²=8y，
可得圆心为C（0，4），半径为4，
即有圆C的圆心极坐标为（4，$\frac{π}{2}$），半径为4；
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}a+1}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}a-5}\end{array}\right.$（a为参数），
可得直线l的普通方程为$\sqrt{3}$x-y-5-$\sqrt{3}$=0，
圆心C（0，4）到直线l的距离为d=$\frac{|-4-5-\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{9+\sqrt{3}}{2}$＞4．
可得直线l和圆C相离．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查圆的方程的运用，同时考查直线参数方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系的判断，注意运用点到直线的距离公式，属于基础题．