Question

15．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为正三角形，E、F分别是BC、CC₁的中点
（1）证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）若D为AB中点，∠CA₁D=45°且AB=2，设三棱锥F-AEC的体积为V₁，三棱锥F-AEC与三棱锥A₁-ACD的公共部分的体积为V₂，求$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由AE⊥BC，AE⊥BB₁得出AE⊥平面B₁BCC₁，故而平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）由CD⊥A₁D可得A₁D=CD=$\sqrt{3}$，从而得出AA₁=$\sqrt{2}$，于是V₁=V_F-AEC=$\frac{1}{3}{S}_{△AEC}•FC$，设AE，CD的交点为O，AF，A₁C的交点为G，过G作GH⊥AC于H，则由△A₁GA∽△CGF得出GH，从而V₂=V_G-AOC=$\frac{1}{3}{S}_{△AOC}•GH$．

解答 证明：（1）∵BB₁⊥平面ABC，AE?平面ABC，
∴AE⊥BB₁，
∵△ABC是等边三角形，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
又BC?平面B₁BCC₁，BB₁?平面B₁BCC₁，BC∩BB₁=B，
∴AE⊥平面B₁BCC₁，
又AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁．
（2）由（1）得AE⊥平面B₁BCC₁，
同理可得：CD⊥平面AA₁B₁B，
∴CD⊥A₁D，
∵AB=2，∴AD=1，CD=$\sqrt{3}$，
∵∠CA₁D=45°，∴A₁D=CD=$\sqrt{3}$，
∴AA₁=$\sqrt{{A}_{1}{D}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴FC=$\frac{1}{2}A{A}_{1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴V₁=V_F-AEC=$\frac{1}{3}{S}_{△AEC}•FC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$．
设AE，CD的交点为O，AF，A₁C的交点为G，过G作GH⊥AC于H，
∵△A₁GA∽△CGF，
∴$\frac{CG}{{A}_{1}G}=\frac{CF}{A{A}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∴GH=$\frac{1}{3}A{A}_{1}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∵OD=$\frac{1}{2}$OC，
∴S_△AOC=$\frac{2}{3}$S_△ACD=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴V₂=V_G-AOC=$\frac{1}{3}{S}_{△AOC}•GH$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{27}$．
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{27}{12}$=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．