Question

13．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=3，S₆=36．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{4n}{{{a}_{n}}^{2}{{a}_{n+1}}^{2}}$，求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列通项公式及其前n项和公式即可得出；
（II）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂=3，S₆=36．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=3}\\{6{a}_{1}+\frac{6×5}{2}d=36}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（II）b_n=$\frac{4n}{{{a}_{n}}^{2}{{a}_{n+1}}^{2}}$=$\frac{4n}{（2n-1）^{2}（2n+1）^{2}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{（2n-1）^{2}}-\frac{1}{（2n+1）^{2}}$），
∴数列{a_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{{3}^{2}}）$+$（\frac{1}{{3}^{2}}-\frac{1}{{5}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{（2n-1）^{2}}-\frac{1}{（2n+1）^{2}}）]$
=$\frac{1}{2}$$[1-\frac{1}{（2n+1）^{2}}]$
=$\frac{2{n}^{2}+2n}{（2n+1）^{2}}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．