Question

16．已知圆C的圆心在直线3x+y-1=0上，且x轴，y轴被圆C截得的弦长分别为2$\sqrt{5}$，4$\sqrt{2}$，若圆心C位于第四象限
（1）求圆C的方程；
（2）设x轴被圆C截得的弦AB的中心为N，动点P在圆C内且P的坐标满足关系式（x-1）²-y²=$\frac{5}{2}$，求$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设圆C的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²，
根据题意，有$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}+5={r}^{2}…①}\\{{a}^{2}+8={r}^{2}…②}\\{3a+b-1=0…③}\\{a＞0，b＜0}\end{array}\right.$
由①②③得a=1，⇒b=1-3a=-2，r²=9，即可得圆的方程；
（2）在圆C的方程：（x-1）²+（y+2）²=9中令y=0，得A（1-$\sqrt{5}$，0），B（1+$\sqrt{5}，0$），N（1，0）．
将x-1）²+（y+2）²＜9．（x-1）²-y²=$\frac{5}{2}$代入$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=（1-$\sqrt{5}$-x，-y）（1+$\sqrt{5}$-x，-y）=（x-1）²+y²-5即可求解．

解答 解：（1）设圆C的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²，
根据题意，有$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}+5={r}^{2}…①}\\{{a}^{2}+8={r}^{2}…②}\\{3a+b-1=0…③}\\{a＞0，b＜0}\end{array}\right.$
①-②得b²=a²+3，…④
由③④得4a²-3a-1=0，∵a＞0，解得a=1，⇒b=1-3a=-2，r²=9，
∴圆C的方程为：（x-1）²+（y+2）²=9，
（2）在圆C的方程：（x-1）²+（y+2）²=9中令y=0，
得A（1-$\sqrt{5}$，0），B（1+$\sqrt{5}，0$），∴N（1，0）．
∵动点P（x，y）在圆C内，∴（x-1）²+（y+2）²＜9…①
将①代入（x-1）²-y²=$\frac{5}{2}$得-$\frac{5}{2}$$＜y＜\frac{1}{2}$，0$≤{y}^{2}＜\frac{25}{4}$
$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=（1-$\sqrt{5}$-x，-y）（1+$\sqrt{5}$-x，-y）=（x-1）²+y²-5…②
将（x-1）²-y²=$\frac{5}{2}$代入②得$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=2y²-$\frac{5}{2}$$∈[-\frac{5}{2}，10]$．

点评 本题考查圆的方程，与圆有关的最值问题，属于中档题．