Question

1．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}&{\;}\\{y≥1}&{\;}\\{x+y≤5}&{\;}\end{array}\right.$时，z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$（a≥b＞0）的最大值为1，则a+b的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 7
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数可得$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=1$，再由基本不等式求a+b的最小值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥1}\\{x+y≤5}\end{array}\right.$作出可行域如图：

联立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y=5}\end{array}\right.$，解得A（1，4），
化目标函数z=$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$（a≥b＞0）为$y=-\frac{b}{a}x+bz$，由图可知，当直线$y=-\frac{b}{a}x+bz$过A时，
目标函数有最大值为$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=1$，
∵a≥b＞0，
∴a+b=（a+b）（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）=5+$\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}$$≥5+2\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}=9$．
当且仅当b=2a，即a=3，b=6时上式等号成立．
故选：D．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．