题目内容
求函数f（x）=
的值域．
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考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的值域
专题：综合题,导数的综合应用
分析：由题意，可令t=x+2，进行换元，将函数转化为y=
=
，t∈（-∞，0）∪[1，3]，再利用导数求出最值即可得出值域
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4-(t+
|
解答：
解：由题意可得（1-x2）（2+x）≥0且x≠-2，解得函数的定义域是（-∞，-2）∪[-1，1]
令t=x+2∈（-∞，0）∪[1，3]，则
y=
=
，由于t∈（-∞，0）∪[1，3]，
令m=t+
，则m′=1-
，
令m′＞0，解得t＞
或t＜-
，令m′＜0，可解得-
＜t＜
∴m=t+
在（-∞，-
）与（
，3]上增，在（-
，0）与（1，
）上减
又m（-
）=-2
，m（
）=2
，m（1）=4，m（3）=4
∴m=t+
∈（-∞，-2
]∪[2
，4]，
∴4-(t+
)∈[0，4-2
]∪[4+2
，+∞），又4±2
=（
±1）2
∴函数f（x）=
的值域为[0，
-1]∪[
+1，+∞）
令t=x+2∈（-∞，0）∪[1，3]，则
y=
|
4-(t+
|
令m=t+
| 3 |
| t |
| 3 |
| t2 |
令m′＞0，解得t＞
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴m=t+
| 3 |
| t |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
又m（-
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴m=t+
| 3 |
| t |
| 3 |
| 3 |
∴4-(t+
| 3 |
| t |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴函数f（x）=
|
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查导数的综合运用，利用导数求函数值域及最值是导数的重要运用，本题在解答时采用了研究局部的技巧，此类技巧近几年高考压轴题中时有出现．
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