Question

已知数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，并且S _n+1=4a_n+2（n=1，2，…），a₁=1
（1）设b_n=a _n+1-2a_n （n=1，2，…），求证{b_n}是等比数列；
（2）设c_n=

a n

2 n

（n=1，2，…），求证{c_n}时等差数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n+1=4a_n+2得当n≥2时，S_n=4a_n-1+2，两式相减得a_n+1=4a_n-4a_n-1，结合b_n=a_n+1-2a_n代入

bn

bn-1

化简，
并由条件求出b₁，根据等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）和等比数列的通项公式得bn=3•2n-1，即a_n+1-2a_n=3•2^n-1，两边同除以2ⁿ⁺¹化简后，由等差数列的定义证明结论；
（3）由（2）和等差数列的通项公式求出c_n，再由c_n=

a n

2 n

求出a_n，再代入当n≥2时S_n=4a_n-1+2化简，最后验证n=1也成立．

解答： 证明：（1）由题意得，S_n+1=4a_n+2，
所以当n≥2时，S_n=4a_n-1+2，
两式相减得，a_n+1=4a_n-4a_n-1，
又b_n=a_n+1-2a_n，
所以

bn

bn-1

=

an+1-2an

an-2an-1

=

4an-4an-1-2an

an-2an-1

=2，
由a₁=1，S₂=4a₁+2得，a₂=5，
所以b₁=a₂-2a₁=3，
则{b_n}是公比为2、首项为3的等比数列；
（2）由（1）得，bn=3•2n-1，
所以a_n+1-2a_n=3•2^n-1，两边同除以2ⁿ⁺¹，得

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，
又c_n=

a n

2 n

，则c₁=

a1

2

=

1

2

，
所以{c_n}是公差为

3

4

、首项为

1

2

的等差数列；
解：（3）由（2）得，c_n=

1

2

+(n-1)×

3

4

=

3

4

n-

1

4

，
因为c_n=

a n

2 n

，所以an=(

3

4

n-

1

4

)•2n=（3n-1）•2^n-2，
因为S_n+1=4a_n+2，所以当n≥2时S_n=4a_n-1+2，
则S_n=（3n-4）•2^n-1+2，
当n=1时，S₁=1也适合上式，故S_n=（3n-4）•2^n-1+2．

点评：本题考查利用定义法证明等差、等比数列，等差、等比数列的通项公式，以及由数列S_n和a_n的关系式的应用，综合性强，难度大．