Question

7．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=2n（n∈N^*），求数列{a_n}的前2n项和．

Answer 1

分析 确定奇数项、偶数项均以2为公差的等差数列，可得a_2n-1=2n，a_2n=2n-2，再分类讨论，运用等差数列的求和公式，即可得出结论．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=2n，
∴a₂+a₁=2，a₃+a₂=4，a₄+a₃=6，a₅+a₄=8，a₆+a₅=10，…，
∴a₂=0，a₃=4，a₄=2，a₅=6，a₆=4，…，
∴奇数项、偶数项均以2为公差的等差数列，
∴a_2n-1=2n，a_2n=2n-2，
数列{a_n}的前2n项和为（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）
=（2+4+…+2n）+（0+2+…+2n-2）
=$\frac{1}{2}$n（2+2n）+$\frac{1}{2}$n（0+2n-2）
=2n²．

点评 本题考查数列的通项与求和，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．