Question

设一个焦点为（-1，0），且离心率e=

2

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上下两顶点分别为A，B，直线y=kx+2交椭圆C于P，Q两点，直线PB与直线y=

1

2

交于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：A，M，Q三点共线．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

c=1 c a = 2 2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）联立

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，由此利用韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明A，M，Q三点共线．

解答： （Ⅰ）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)一个焦点为（-1，0），
且离心率e=

2

2

，
∴

c=1 c a = 2 2

，解得a=

2

，c=1，
∴b²=a²-c²=2-1=1，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）证明：联立

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，
△=64k²-24（2k²+1）＞0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1 +x2=-

8k

2k2+1

，x₁x₂=

6

2k2+1

，
∵A（0，1），B（0，-1），
∴直线BP：y+1=

y1+1

x1

x，直线AQ：y-1=

y2-1

x2

x ，
∵直线PB与直线y=

1

2

交于点M，∴M（

3

2

•

x1

y1+1

，

1

2

），
把M（

3

2

•

x1

y1+1

，

1

2

）代入直线AQ，得：
-

1

2

=

y2-1

x2

•

3

2

•

x1

y1+1

=

3

2

•

x1y2-x1

x2y1+x2

=

3

2

•

x1(kx2+2)-x1

x2(kx1+2)+x2

=

3

2

•

kx1x2+x1

kx1x2+3x2

=

3

2

•

6k 2k2+1 +x1

6k 2k2+1 +3x2

=

3

2

•

6k+(2k2+1)x1

6k+(6k2+3)x2

=

3

2

•

-2k-(2k2+1)x2

6k+(6k2+3)x2

=-

1

2

，成立．
∴A，M，Q三点共线．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三点共线的证明，解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理、椭圆性质等知识点的合理运用．