Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°PA⊥平面，PA=4，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC
（Ⅱ）求二面角P-BD-A的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）分别在Rt△ABD和Rt△ABC求得tan∠ABD和tan∠BAC的值，分别求得∠ABD和∠ABC，进而求得∠AEB=90，推断出AC⊥BD，进而根据线面垂直的性质和PA⊥平面ABCD推断出PA⊥BD，最后根据线面垂直的判定定理推断出BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）连结PE，由PA⊥平面ABCD，AE⊥BD，推断出PE⊥BD，进而可知∠PEA为二面角P-BD-A的平面角，Rt△ABE中求得AE，进而在Rt△APE中求得tan∠AEP，则∠AEP可求．

解答： （Ⅰ）证明：在Rt△ABD中，tan∠ABD=

AD

AB

=

3

3

，
∴∠ABD=30°，
在Rt△ABC中，tan∠BAC=

BC

AB

=

3

，
∴∠ABC=60°，
∴∠AEB=180°-∠ABC-∠ABD=90°，即AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵AC∩AP=A，AC?平面APC，AP?平面APC，
∴BD⊥平面PAC
（Ⅱ）连结PE，∵PA⊥平面ABCD，AE⊥BD，
∴PE⊥BD，即∠PEA为二面角P-BD-A的平面角，
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，
∴AE=

1

2

AB=

3

，
在Rt△APE中，tan∠AEP=

AP

AE

=

4

3

=

4 3

3

，
∴∠AEP=arctan

4 3

3

．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用，二面角的计算．解题的关键是找到二面角的平面角．