Question

2．已知函数f（x）=|x²+bx|（b∈R），当x∈[0，1]时，f（x）的最大值为M（b），则M（b）的最小值是（　　）

• A． 3-2$\sqrt{2}$
• B． 4-2$\sqrt{3}$
• C． 1
• D． 5-2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 通过讨论b的范围，结合二次函数的性质求出M（b），从而求出M（b）的最小值即可．

解答 解：因为函数f（x）=|x²+bx|=|${（x+\frac{b}{2}）}^{2}$-$\frac{{b}^{2}}{4}$|，
对称轴x=-$\frac{b}{2}$，当-$\frac{b}{2}$≤0，即b≥0时，f（x）在[0，1]递增，
故M（b）=f（1）=b+1，
0＜-$\frac{b}{2}$＜$\frac{1}{2}$即-1＜b＜0时，f（x）的最大值是f（-$\frac{b}{2}$）或f（1），
令f（-$\frac{b}{2}$）=$\frac{{b}^{2}}{4}$＞f（1）=b+1，解得：-1＜b＜2（1-$\sqrt{2}$），
故-1＜b＜2（1-$\sqrt{2}$）时，M（b）=$\frac{{b}^{2}}{4}$，
2（1-$\sqrt{2}$）＜b＜0时，M（b）=b+1，
$\frac{1}{2}$≤-$\frac{b}{2}$即≤-1时，M（b）=$\frac{{b}^{2}}{4}$，
故M（b）=$\left\{\begin{array}{l}{b+1，b≥2（1-\sqrt{2}）}\\{\frac{{b}^{2}}{4}，b＜2（1-\sqrt{2}）}\end{array}\right.$，
故b=2（1-$\sqrt{2}$）时，M（b）最小，最小值是3-2$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了二次函数的性质以及分类讨论思想；属于中档题．