Question

14．极坐标系中，已知圆ρ=10cos$（{\frac{π}{3}-θ}）$
（1）求圆的直角坐标方程．
（2）设P是圆上任一点，求点P到直线$\sqrt{3}x-y+2=0$距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据极坐标与直角坐标方程互换的公式，即可化解．
（2）P是圆上任一点，点P到直线$\sqrt{3}x-y+2=0$距离的最大值为：d+r，即可得答案．

解答 解（1）圆ρ=10cos$（{\frac{π}{3}-θ}）$
化简可得：ρ=10cos$\frac{π}{3}$cosθ+10sin$\frac{π}{3}$sinθ
ρ²=5ρcosθ+5$\sqrt{3}$ρsinθ
∴${x}^{2}+{y}^{2}-5x-5\sqrt{3}y=0$．
故得圆的直角坐标方程为：${x}^{2}+{y}^{2}-5x-5\sqrt{3}y=0$．
（2）由（1）可知圆的圆心为（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$），半径r=5，
题意：点P到直线$\sqrt{3}x-y+2=0$距离的最大值为：圆心到直线的距离+半径，即d+r．
d=$\frac{|\sqrt{3}×\frac{5}{2}-\frac{5\sqrt{3}}{2}+2|}{2}=1$
∴最大距离为：1+5=6．

点评 本题主要考查了极坐标与直角坐标方程互换，以及圆上动点与定直线的最值问题．属于基础题．