Question

13．已知函数f（x）=log₂（2^x-1）
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 若函数g（x）=log₂（2^x+1），且关于x的方程g（x）=m+f（x）在区间[1，2]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令t=2^x-1，则y=log₂t，根据对数函数的性质求出函数的单调性即可；
（Ⅱ）问题转化为m=g（x）-f（x）在区间[1，2]上有解，令$h（x）=g（x）-f（x）={log_2}（{\frac{{{2^x}+1}}{{{2^x}-1}}}）$，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）函数$f（x）={log_2}（{2^x}-1）$的定义域为（0，+∞），
令t=2^x-1，y=log₂t，
当x∈（0，+∞）时，函数t=2^x-1单调递增，
当t∈（0，+∞）时，函数y=log₂t单调递增，
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
（Ⅱ）方程g（x）=m+f（x）在区间[1，2]上有解，
即m=g（x）-f（x）在区间[1，2]上有解，
令$h（x）=g（x）-f（x）={log_2}（{\frac{{{2^x}+1}}{{{2^x}-1}}}）$，令$t=\frac{{{2^x}+1}}{{{2^x}-1}}=1+\frac{2}{{{2^x}-1}}$，
当x∈[1，2]时，$t∈[{\frac{5}{3}，3}]$，
所以$h（x）∈[{{{log}_2}\frac{5}{3}，{{log}_2}3}]$，
所以$m∈[{{{log}_2}\frac{5}{3}，{{log}_2}3}]$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查对数函数的性质以及换元思想，是一道中档题．