Question

数列{a_n}中，a₁=2，a _n+1=a_n+2n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若a_n+3n-2=

2

bn

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：计算题

分析：（1）由a _n+1=a_n+2n，得a_n-a_n-1=2（n-1）（n≥2），然后利用累加法求数列的通项公式；
（2）把an=n2-n+2代入a_n+3n-2=

2

bn

，整理后得bn=

2

n(n+2)

=

1

n

-

1

n+2

，再利用裂项相消法求{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）由a _n+1=a_n+2n，得a _n+1-a_n=2n，
则a_n-a_n-1=2（n-1）（n≥2），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2[（n-1）+（n-2）+…+1]+2
=2×

[(n-1)+1](n-1)

2

+2=n²-n+2（n≥2）．
验证n=1时上式成立，
∴an=n2-n+2；
（2）把an=n2-n+2代入a_n+3n-2=

2

bn

，
得n2-n+2+3n-2=

2

bn

，即bn=

2

n(n+2)

=

1

n

-

1

n+2

．
∴{b_n}的前n项和
S_n=1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

．

点评：本题考查了数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．