题目内容
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面CB1D1；
（Ⅱ）求异面直线EF与CD1所成角．
（Ⅰ）求证：EF∥平面CB1D1；
（Ⅱ）求异面直线EF与CD1所成角．
考点：异面直线及其所成的角,直线与平面平行的判定
专题：空间角
分析：（Ⅰ）连结BD，则EF∥BD，从而四边形是BB1D1D是平行四边形，由此能证明EF∥平面CB1D1．
（Ⅱ）连接A1B，A1D，则四边形BCD1A1是平行四边形，EF∥BD，从而∠A1BD就是异面直线EF与CD1所成角，由此能求出异面直线EF与CD1所成角．
（Ⅱ）连接A1B，A1D，则四边形BCD1A1是平行四边形，EF∥BD，从而∠A1BD就是异面直线EF与CD1所成角，由此能求出异面直线EF与CD1所成角．
解答：
（Ⅰ）证明：连结BD，∵E，F分别是AD，AB的中点，∴EF∥BD，
∵BB1∥DD1，BB1=DD1，
∴四边形是BB1D1D是平行四边形，
∴BD∥B1D1，∴EF∥BD，
∵B1D1?平面B1D1C，EF?面B1D1C，
∴EF∥平面CB1D1．
（Ⅱ）解：连接A1B，A1D，∵AD
BC，AD
A1D1，
∴BC
A1D1，∴四边形BCD1A1是平行四边形，…（8分）
∴BA1∥CD1，又∵EF∥BD，
∴∠A1BD就是异面直线EF与CD1所成角 …（10分）
∵在正方体AC1中A1B=A1D=BD，
∴∠A1BD=60°，
∴异面直线EF与CD1所成角为60°．…（12分）
∵BB1∥DD1，BB1=DD1，
∴四边形是BB1D1D是平行四边形，
∴BD∥B1D1，∴EF∥BD，
∵B1D1?平面B1D1C，EF?面B1D1C，
∴EF∥平面CB1D1．
（Ⅱ）解：连接A1B，A1D，∵AD
| ||
. |
| ||
. |
∴BC
| ||
. |
∴BA1∥CD1，又∵EF∥BD，
∴∠A1BD就是异面直线EF与CD1所成角 …（10分）
∵在正方体AC1中A1B=A1D=BD，
∴∠A1BD=60°，
∴异面直线EF与CD1所成角为60°．…（12分）
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用．
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