题目内容
【题目】如果函数
的定义域为
，且存在实常数a，使得对于定义域内任意x，都
成立，则称此函数
具有“
性质”
（1）判断函数
是否具有“性质”，若具有“性质”，求出所有a的值的集合；若不具有“性质”，请说明理由；
（2）已知函数具有“
性质”，且当
时，
，求函数在区间
上的值域；
（3）已知函数
具有“性质”，又具有“
性质”，且当
时，
，若函数的图像与直线
有2017个公共点，求实数p的值.
【答案】（1）函数
具有“
性质”，所有a的值的集合为
（2）答案不唯一，具体见解析（3）
【解析】
（1）根据题意可知
，故而
，
；
（2）由新定义可推出
为偶函数，从而求出在
，
上的解析式，讨论
与，的关系判断的单调性得出的最值；
（3）根据新定义可知
为周期为2的偶函数，作出的函数图象，根据函数图象得出
的值．
解：（1）假设具有“
性质”，则恒成立，
，
函数具有“性质”，且所有
的值的集合为
，
．
（2）因为函数
具有“
性质”，所以
恒成立，
是偶函数．
设
，则
，
．
①当
时，函数在，上递增，值域为
，
．
②当
时，函数在，
上递减，在
，上递增，
，
，值域为，．
③当
时，，
，值域为，
．
④
时，函数在，上递减，值域为
，．
（3）
既具有“性质”，即
，函数
偶函数，
又具有“
（2）性质”，即
，
函数是以2为周期的函数．
作出函数的图象如图所示：
由图象可知，当
时，函数与直线
交于点
，
，即有无数个交点，不合题意．
当
时，在区间，
上，函数有1008个周期，要使函数的图象与直线有2017个交点，
则直线在每个周期内都有2个交点，且第2017个交点恰好为
，所以
．
同理，当
时，
．
综上，．
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