题目内容
【题目】如图1,在等腰中,
,
,
分别为
,
的中点,
为
的中点,
在线段
上,且
。将
沿
折起,使点
到
的位置(如图2所示),且
。
(1)证明:平面
;
(2)求平面与平面
所成锐二面角的余弦值
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)要证明线面平行,需证明线线平行,取的中点
,连接
,根据条件证明
,即
;
(2)以为原点,
所在直线为
轴,过
作平行于
的直线为
轴,
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系
,求两个平面的法向量,利用法向量求二面角的余弦值.
(1)证明:取的中点
,连接
.
∵,∴
为
的中点.
又为
的中点,∴
.
依题意可知,则四边形
为平行四边形,
∴,从而
.
又平面
,
平面
,
∴平面
.
(2),且
,
平面
,
平面
,
,
,且
,
平面
,
以
为原点,
所在直线为
轴,过
作平行于
的直线为
轴,
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系
,不妨设
,
则,
,
,
,
,
,
,
,
.
设平面的法向量为
,
则,即
,
令,得
.
设平面的法向量为
,
则,即
,
令,得
.
从而,
故平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
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